Пентамино́  — пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами. Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают. Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18.

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

• L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.
• Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.
• T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
• I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
• X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

Укладка прямоугольников

Самая распространённая задача в пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно решить вручную, но более сложной задачей является подсчёт общего числа возможных решений в каждом случае (очевидно, прямоугольники 2 × 30 и 1 × 60 составить из пентамино невозможно, поскольку многие фигуры в них просто не помещаются по ширине).

Существует 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую, можно получить дополнительные решения; для прямоугольника 3×20 второе решение можно получить поворотом блока из 7 фигур, или, иначе говоря, если поменять местами четыре фигуры, крайние слева, и одну крайнюю справа).

Для прямоугольника 5 × 12 существует 1010 решений, 4 × 15 — 368 решений, 3 × 20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5 × 6, из которых можно составить как прямоугольник 6 × 10, так и 5 × 12.

По материалам сайта:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%BE