09:17 Задача коммивояжёра |
Задача коммивояжёра — одна из самых известных задач комбинаторной оптимизации, заключающаяся в поиске самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и тому подобное) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и тому подобного. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов. Существует несколько частных случаев общей постановки задачи, в частности, геометрическая задача коммивояжёра (также называемая планарной или евклидовой, когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости), метрическая задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника), симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра. Также существует обобщение задачи, так называемая обобщённая задача коммивояжёра. Точно неизвестно, когда задачу коммивояжера исследовали впервые. Однако, известна изданная в 1832 году книга с названием «Коммивояжёр — как он должен вести себя и что должен делать для того, чтобы доставлять товар и иметь успех в своих делах — советы старого курьера», в которой описана задача, но математический аппарат для её решения не применяется. Зато в ней предложены примеры маршрутов для некоторых регионов Германии и Швейцарии. Ранним вариантом задачи может рассматриваться англ. Icosian Game Уильяма Гамильтона 19 века, которая заключалась в том, чтобы найти маршруты на графе с 20 узлами. Вскоре появилось известное сейчас название задача странствующего торговца (англ. Traveling Salesman Problem), которую предложил Хасслер Уитни. Вместе с простотой определения и сравнительной простотой нахождения хороших решений задача коммивояжёра отличается тем, что нахождение действительно оптимального пути является достаточно сложной задачей. Учитывая эти свойства, начиная со второй половины XX века исследование задачи коммивояжёра имеет не столько практический смысл, сколько теоретический в качестве модели для разработки новых алгоритмов оптимизации. Многие современные распространенные методы дискретной оптимизации, такие как метод отсечений, ветвей и границ и различные варианты эвристических алгоритмов, были разработаны на примере задачи коммивояжёра. Больших успехов удалось достичь в конце 1970-х и 1980-х годах, когда Мартин Грётчел (нем. Martin Grötschel), Манфред Падберг (нем. Manfred Padberg) и Джованни Ринальди (итал. Giovanni Rinaldi) и другие, с применением новых методов деления плоскостью, ветвей и границ вычислили решение для отдельного случая задачи с 2393 городами. Обобщённая задача коммивояжёра — задача комбинаторной оптимизации, являющаяся обобщением хорошо известной задачи коммивояжёра. Исходными данными для задачи является множество вершин, разбиение этого множества на так называемые кластеры, а также матрица стоимостей перехода из одной вершины в другую. Задача заключается в нахождении кратчайшего замкнутого пути, который бы посетил по одной вершине в каждом кластере (существует также модификация, когда путь должен посетить хотя бы по одной вершине в каждом кластере). В зависимости от свойств матрицы стоимостей, задача может быть симметричной, если матрица симметричная, или асимметричной в противном случае. Одним из наиболее часто рассматриваемых частных случаев симметричной задачи является евклидова или планарная задача, когда каждая вершина имеет свои координаты в пространстве, и стоимость перехода между вершинами соответствует евклидову расстоянию между соответствующими точками в пространстве. Как и задача коммивояжёра, обобщённая задача коммивояжёра относится к классу NP-трудных задач. Для доказательства достаточно рассмотреть частный случай задачи, когда каждый кластер содержит ровно одну вершину, и задача сводится к простой задаче коммивояжёра, которая является NP-трудной. По материалам сайта: |
|
|
| Всего комментариев: 0 | |